En Équations Différentielles, 80 % du travail consiste à reconnaître le type d'équation au premier coup d'œil.
En TD, vous savez sur quel chapitre porte la feuille d'exercices. En examen, toutes les équations sont mélangées. Voici l'arbre de décision pour choisir la bonne méthode.
Le système en 5 étapes pour classer et résoudre les Équations Différentielles
Classez les EDO du 1er ordre dans un ordre de priorité strict
Vérifiez dans cet ordre : (1) Est-elle à variables séparables (dy/dx = g(x)h(y)) ? (2) Est-elle linéaire (dy/dx + P(x)y = Q(x) → facteur intégrant μ(x) = e^∫P(x)dx) ? (3) Est-elle exacte (∂M/∂y = ∂N/∂x) ? (4) Est-elle de Bernoulli ou homogène ?
Résolvez les EDO linéaires homogènes du 2nd ordre via l'Équation Caractéristique
Transformez ay'' + by' + cy = 0 en ar² + br + c = 0. Deux racines réelles donnent c₁e^(r₁t) + c₂e^(r₂t) ; une racine double donne (c₁ + c₂t)e^(rt) ; des racines complexes α ± βi donnent e^(αt)(c₁cos(βt) + c₂sin(βt)).
Évitez le piège de résonance dans la méthode des Coefficients Indéterminés
Avant de proposer une solution particulière y_p(t) pour ay'' + by' + cy = g(t), regardez TOUJOURS votre solution homogène y_h(t). Si votre forme proposée apparaît déjà dans y_h, multipliez-la par t (ou t²) !
Utilisez la Transformée de Laplace pour transformer une EDO en équation algébrique
Appliquez L{y''} = s²Y(s) - sy(0) - y'(0), isolez algébriquement Y(s), décomposez en éléments simples et prenez la transformée de Laplace inverse L⁻¹{Y(s)}.
Vérifiez chaque solution en 30 secondes en dérivant votre résultat
Les équations différentielles permettent de vérifier facilement sa copie : dérivez votre fonction finale et contrôlez qu'elle vérifie bien l'équation et la condition initiale y(0).
Sujets d'examen sur les EDO à travailler avec l'IA
Diagnostic rapide des EDO du 1er ordre
Identifiez en quelques secondes une équation séparable, linéaire ou exacte.
Oscillateurs masse-ressort et circuits RLC
Modélisez les régimes pseudopériodique, critique, apériodique et la résonance.
Laplace, échelon d'Heaviside et Dirac
Résolvez les équations avec second membre discontinu u_c(t) et impulsion de Dirac δ(t - t₀).
Systèmes différentiels et portraits de phase
Utilisez les valeurs propres de X' = AX pour classer nœuds, cols (points selles) et foyers.
Mettez toujours l'EDO linéaire du 1er ordre sous forme normalisée avant d'identifier P(x)
Si l'équation s'écrit x(dy/dx) + 2y = x³, vous DEVEZ d'abord diviser toute l'équation par x pour obtenir dy/dx + (2/x)y = x² avant de calculer le facteur intégrant μ(x) = e^∫(2/x)dx = x².
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